This method implements the natural identification $\mathbb{G}(k,\mathbb{P}^n)\to\mathbb{G}(n-k-1,{\mathbb{P}^n}^{*})$, which takes a subspace $L\in\mathbb{G}(k,\mathbb{P}^n)$ to its orthogonal complement $L^*\in\mathbb{G}(n-k-1,{\mathbb{P}^n}^*)$.
i1 : P9 = ambient Grass(2,4,ZZ/13,Variable=>x); |
i2 : vars P9
o2 = | x_(0,1,2) x_(0,1,3) x_(0,2,3) x_(1,2,3) x_(0,1,4) x_(0,2,4) x_(1,2,4) x_(0,3,4) x_(1,3,4) x_(2,3,4) |
1 10
o2 : Matrix P9 <--- P9
|
i3 : dualize vars P9
o3 = | x_(3,4) -x_(2,4) x_(1,4) -x_(0,4) x_(2,3) -x_(1,3) x_(0,3) x_(1,2) -x_(0,2) x_(0,1) |
ZZ 1 ZZ 10
o3 : Matrix (--[x ..x , x , x , x , x , x , x , x , x ]) <--- (--[x ..x , x , x , x , x , x , x , x , x ])
13 0,1 0,2 1,2 0,3 1,3 2,3 0,4 1,4 2,4 3,4 13 0,1 0,2 1,2 0,3 1,3 2,3 0,4 1,4 2,4 3,4
|
i4 : F = random(2,P9)
2 2 2
o4 = - 2x - 5x x - 6x + x x - 2x x + 2x + 3x x - 5x x + 3x x
0,1,2 0,1,2 0,1,3 0,1,3 0,1,2 0,2,3 0,1,3 0,2,3 0,2,3 0,1,2 1,2,3 0,1,3 1,2,3 0,2,3 1,2,3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2
- 4x - 6x x - 5x x + 6x x + 3x x + 6x - 5x x - 2x x +
1,2,3 0,1,2 0,1,4 0,1,3 0,1,4 0,2,3 0,1,4 1,2,3 0,1,4 0,1,4 0,1,2 0,2,4 0,1,3 0,2,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
3x x - 6x x + 5x - 3x x + 5x x + 6x x + 6x x + 2x x +
0,2,3 0,2,4 1,2,3 0,2,4 0,2,4 0,1,2 1,2,4 0,1,3 1,2,4 0,2,3 1,2,4 1,2,3 1,2,4 0,1,4 1,2,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
6x x - 6x + 3x x - 6x x - 5x x - 4x x + 6x x + 3x x -
0,2,4 1,2,4 1,2,4 0,1,2 0,3,4 0,1,3 0,3,4 0,2,3 0,3,4 1,2,3 0,3,4 0,1,4 0,3,4 0,2,4 0,3,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
4x x - 3x - x x - 5x x - 3x x + 6x x - 4x x + 5x x -
1,2,4 0,3,4 0,3,4 0,1,2 1,3,4 0,1,3 1,3,4 0,2,3 1,3,4 1,2,3 1,3,4 0,1,4 1,3,4 0,2,4 1,3,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
2x x + 5x x + 4x + 3x x + 5x x + 6x x + 2x x + 3x x -
1,2,4 1,3,4 0,3,4 1,3,4 1,3,4 0,1,2 2,3,4 0,1,3 2,3,4 0,2,3 2,3,4 1,2,3 2,3,4 0,1,4 2,3,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
6x x + 4x x + 3x x - 2x
0,2,4 2,3,4 1,2,4 2,3,4 1,3,4 2,3,4 2,3,4
o4 : P9
|
i5 : dualize F
2 2 2 2
o5 = - 2x - 3x x + 4x - 5x x - 3x + 4x x + 2x x - 4x x - 6x + 6x x + 5x x -
0,1 0,1 0,2 0,2 0,2 1,2 1,2 0,1 0,3 0,2 0,3 1,2 0,3 0,3 0,1 1,3 0,2 1,3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2
3x x - 6x x + 5x + 3x x + 4x x + 6x x + 2x x + 6x - 2x x + 6x x + 4x x -
1,2 1,3 0,3 1,3 1,3 0,1 2,3 0,2 2,3 1,2 2,3 0,3 2,3 2,3 0,1 0,4 0,2 0,4 1,2 0,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
6x x - 6x x - 3x x - 4x + 6x x + 3x x - 5x x + 6x x - 3x x + 6x x -
0,3 0,4 1,3 0,4 2,3 0,4 0,4 0,1 1,4 0,2 1,4 1,2 1,4 0,3 1,4 1,3 1,4 2,3 1,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 2
3x x + 2x - 5x x - 5x x + 6x x - 5x x - 2x x + 5x x - 5x x + 2x x - 6x +
0,4 1,4 1,4 0,1 2,4 0,2 2,4 1,2 2,4 0,3 2,4 1,3 2,4 2,3 2,4 0,4 2,4 1,4 2,4 2,4
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
3x x + x x + 3x x - 3x x + 5x x - 6x x - 3x x + x x + 5x x - 2x
0,1 3,4 0,2 3,4 1,2 3,4 0,3 3,4 1,3 3,4 2,3 3,4 0,4 3,4 1,4 3,4 2,4 3,4 3,4
ZZ
o5 : --[x ..x , x , x , x , x , x , x , x , x ]
13 0,1 0,2 1,2 0,3 1,3 2,3 0,4 1,4 2,4 3,4
|
i6 : F == dualize dualize F o6 = true |
The object dualize is a method function.